\subsection{复数的有关概念}\label{subsec:5-2}

复数 $a + bi$ （$a,\; b \in R$。以后说复数 $a + bi$ 时，都有 $a,\; b \in R$），
当 $b = 0$ 时，就是实数；当 $b \neq 0$ 时，叫做\textbf{虚数}，
当 $a = 0$，$b \neq 0$ 时，叫做\textbf{纯虚数}；
$a$ 与 $b$ 分别叫做复数 $a + bi$ 的\textbf{实部}与\textbf{虚部}。
例如， $3 + 4i$，$-\dfrac{1}{2} - \sqrt{2}i$，$-0.5i$都是虚数，
它们的实部分别是 $3$，$-\dfrac{1}{2}$，$0$，
虚部分别是 $4$，$-\sqrt{2}$，$-0.5$。

显然，实数集 $R$ 是复数集 $C$ 的真子集，即 $R \subset C$。

如果两个复数 $a + bi$ 与 $c + di$ 的实部与虚部分别相等，我们就说这两个\textbf{复数相等}，
记作 $a + bi = c + di$，这就是说，如果 $a,\; b,\; c,\; d \in R$，那么
\begin{align*}
    a + bi = c + di &\iff a = c,\; b = d, \\[-1em]
    a + bi = 0 &\iff a = b = 0 \text{。}
\end{align*}

\textbf{例} \quad 已知 $(2x - 1) + i = y - (3 -- y)i$，其中 $x,\; y \in R$。求 $x$ 与 $y$。

\jie 根据复数相等的定义，得方程组
$$\begin{cases}
    2x - 1 = y, \\
    1 = -(3 - y) \text{。}
\end{cases}$$

$\therefore \quad x = \dfrac{5}{2},\quad y = 4$。


从复数相等的定义，我们知道，任何一个复数 $z = a + bi$，都可以由一个有顺序的实数对 $(a, b)$ 唯一确定。
这就使我们能借用平面直角坐标系来表示复数 $z = a + bi$。如图 \ref{fig:5-1}，点 $Z$ 的横坐标是 $a$，
纵坐标是 $b$，复数 $z = a + bi$ 可用点 $Z(a, b)$ 来表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的
平面叫做\textbf{复平面}，$x$ 轴叫做\textbf{实轴}，$y$ 轴除去原点的部分叫做\textbf{虚轴}
（因为原点表示实数 $0$，原点不在虚轴上）。表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{minipage}{8cm}
        \centering
        \input{../pic/ds2-ch5-5-1}
        \caption{}\label{fig:5-1}
    \end{minipage}
    \quad
    \begin{minipage}{8cm}
        \centering
        \input{../pic/ds2-ch5-5-2}
        \caption{}\label{fig:5-2}
    \end{minipage}
\end{figure}

很明显，按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，
复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集 $C$ 和复平面内所有
的点所成的集合是一一对应的。这是复数的一个几何意义。

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为\textbf{共轭复数}
（当虚部不等于 $0$ 时也叫做互为\textbf{共轭虚数}）。复数 $z$ 的共轭复数可以
用 $\bar{z}$ 来表示，也就是说，复数 $z = a + bi$ 的共轭复数是 $\bar{z} = a - bi$。
显然，复平面内表示两个互为共轭复数的点 $Z$ 与 $\bar{Z}$ 关于实轴对称（图 \ref{fig:5-2}），
而实数 $a$（即虚部为 $0$ 的复数）的共轭复数仍是 $a$ 本身。

两个实数可以比较大小。但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小。
关于这个命题的证明，本书从略。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{如果 $a,\; b \in R$，在什么况下，$a + bi$ 是实数？是虚数？是纯虚数？各举一些例子。}

\xiaoti{说出下列数（其中 $i$ 是虚数单位）中，哪些是实数，哪些是纯虚数，哪些是复数：\\
    \phantom{空白} $\begin{aligned}[t]
        &2+\sqrt{7},\quad 0.618,\quad \dfrac{2}{7}i,\quad 0,\quad i,\quad i^2, \\
        &5i+8,\quad 3-9\sqrt{2}i,\quad i(1 - \sqrt{3}),\quad 2-i\sqrt{2} \text{。}
    \end{aligned}$
}

\xiaoti{说出下列复数的实部与虚部：\\
    \phantom{空白} $-5+6i,\quad \dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad -\sqrt{3},\quad i,\quad 0$。
}

\xiaoti{求适合下列方程的 $x$ 与 $y$ $(x,\; y \in R)$ 的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$(3x + 2y) + (5x - y)i = 17 - 2i$；}

    \xiaoxiaoti{$(3x - 4) + (2y + 3)i = 0$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格子边长为 $1$）}：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/ds2-ch5-lx-5}
    \caption*{(第5题)}
\end{figure}


\xiaoti{在复平面内描出表示下列复数的点：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.2}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$2 + 5i$；} & \xiaoxiaoti{$-3 + 2i$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\dfrac{1}{2} - 4i$；} & \xiaoxiaoti{$-i - 3$；} \\
        \xiaoxiaoti{$5$；} & \xiaoxiaoti{$-3i$；} \\
        \xiaoxiaoti{$6i$；} & \xiaoxiaoti{$-2$；} \\
        \xiaoxiaoti{$1 - i\sqrt{2}$；} & \xiaoxiaoti{$\sqrt{3}$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{设复数 $z = a + bi$ 和复平面内的点 $Z(a, b)$ 对应，
    $a$，$b$ 必须满足什么条件，才能使点 $Z$ 位于：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{实轴上？}

    \xiaoxiaoti{虚轴上？}

    \xiaoxiaoti{上半平面（不包括实轴）？}

    \xiaoxiaoti{右半平面（不包括原点和虚轴）？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{说出下列复数的共轭复数，并在复平面内把每一对复数表示出来：\\
    $4-3i,\quad -1+i,\quad -5-12i,\quad 4i+\dfrac{1}{2},\quad 4i,\quad -i\sqrt{5}$。
}


\xiaoti{说出复数 $-\dfrac{1}{3}$，$0$，$\pi$ 的共轭复数。}


\xiaoti{判断下列命题的真假，并说明理由：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$0i$ 是纯虚数；}

    \xiaoxiaoti{原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点；}

    \xiaoxiaoti{实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

